２の補数表現・2012/05/02の授業の補足

要約

補数表現を用いれば、減算を加算だけで求めることができるという話です。

Ｎ進数におけるＸという数値ののＮ−１の補数表現は、桁数を指定したうえで全桁をＮ−１とした数字からＸを引くことで得られます。
例：１０進数における１６９の「１０−１の（９の）補数表現」：３桁が指定された場合、９９９−１６９＝８３０
例：１０進数における１６９の「１０−１の（９の）補数表現」：５桁が指定された場合、９９９９９−１６９＝９９８３０
例：４進数における１１２の「４−１の（３の）補数表現」：４桁が指定された場合、３３３３−１１２＝３２２１

Ｎ進数におけるＸという数値ののＮの補数表現は、桁数を指定したうえで得られたＮ−１の補数表現に１を加算することで得られます。
例：１０進数における１６９の「１０の補数表現」：３桁が指定された場合、９の補数表現８３０に１を加算して８３１
例：１０進数における４００の「１０の補数表現」：３桁が指定された場合、９の補数表現５９９に１を加算して６００
例：４進数における１１２の「４の補数表現」：４桁が指定された場合、３の補数表現３２２１に１を加算して３２２２

「345 - 169 = 176」の計算例

※ここは全て１０進数で表現

計算の意味：
345 - 169 の代わりに、 345 + (169の１０の補数表現) を計算することで、同じ結果を得る。
345 + ( (999-169) + 1 ) = (999+1) + 345 - 169 = 1000 + (345-169) = 1000 + 176
最上位桁（1000）を無視すれば、176 は 345 - 169 に一致する。

手順：
(1) 169の９の補数：830
(2) 169の１０の補数(＝９の補数＋１): 830 + 1 = 831 (※(1)(2)の代わりに1000-169を直接計算してもよい)
(3) 345 - 169  ⇒ 345 + 831 = 1176 ⇒ 最上位の４桁目を外して「176」が解

「25 - 13 = 12」の計算例

※ここは全て１０進数で表現

計算の意味：
25 - 13 の代わりに、 25 + (13の１０の補数表現) を計算することで、同じ結果を得る。
25 + ( (99-13) + 1 ) = (99+1) + 25 - 13 = 100 + (25-13) = 100 + 12
最上位桁（100）を無視すれば、12 は 25 - 13 に一致する。

手順：
(1) 13の９の補数：86
(2) 13の１０の補数(＝９の補数＋１): 86 + 1 = 87
(3) 25 - 13 ⇒ 25 + 87 = 112 ⇒ 最上位の３桁目を外して「12」が解

※同じ手順を２進数で表現

計算の意味：
11001 - 01101 の代わりに、 11001 + (01101の２の補数表現) を計算することで、同じ結果を得る。
11001 + ( (11111-01101) + 1 ) = (11111+1) + 11001 - 01101 = 100000 + (11001-01101) = 100000 + 01100
最上位桁（100000）を無視すれば、01100 は 11001 - 01101 に一致する。

手順：
(1) 01101の１の補数：10010 (２進数だと実質0⇔1反転させるだけでよいので簡単)
(2) 13の２の補数(＝１の補数＋１): 10010 + 1 = 10011
(3) 11001 - 01101 ⇒ 11001 + 10011 = 101100 ⇒ 最上位の６桁目を外して「01100」が解

注意

・計算を始める前に「大きい数 - 小さい数」になるように最初に整えておく必要があります。